# Неопределённости неопределённостей

Во многих случаях распространение неопределённостей опирается на моделирование нейтронного переноса с помощью стохастических кодов. В настоящее время это имеет место для SAUNA, поскольку он использует результаты чувствительности KENO-VI и Serpent. Следовательно, неопределённости чувствительностей вносят неопределённости в результаты распространения неопределённостей. Чтобы оценить статистическую точность вычисленной неопределённости, следует также распространить статистическую неопределённость чувствительностей на неопределённость функционала. Кроме того, некоторые чувствительности вычисляются через другие функционалы, и это также должно быть учтено.

## Учёт неопределённостей сложных функционалов

Вычисление сложных функционалов требует по крайней мере двух функционалов, и это приводит к отличной неопределённости сложного функционала. Здесь рассматривается самый простой случай — разность реактивностей $$\Delta\rho$$:

$$
\text{d}(\Delta\rho)=-\frac{\text{d}k}{k^2}+\frac{\text{d}k\_0}{k\_0^2}
$$

$$
\Delta(\Delta\rho)=\sqrt{\left(\frac{\Delta k}{k^2}\right)^2 + \left(\frac{\Delta k\_0}{k\_0^2}\right)^2}
$$

Кроме того, должны быть вычислены статистические неопределённости чувствительностей сложного функционала:

$$
\Delta S (\Delta \rho, \alpha)=|S(\Delta\rho,\alpha)| \sqrt{\left\[\frac{\Delta (S(k,\alpha)/k-S(k\_0,\alpha)/k\_0)}{S(k,\alpha)/k-S(k\_0,\alpha)/k\_0}\right]^2 + \left\[\frac{\Delta(\Delta\rho)}{\Delta\rho}\right]^2 }
$$

или в терминах собственных значений:

$$
\Delta S (\Delta \rho, \alpha)=|S(\Delta\rho,\alpha)| \sqrt{\left\[\frac{\Delta (S(k,\alpha)k\_0-S(k\_0,\alpha)k)}{S(k,\alpha)k\_0-S(k\_0,\alpha)k}\right]^2 + \left\[\frac{\Delta(k\_0-k)}{k\_0-k}\right]^2 }
$$

## Статистические неопределённости неопределённостей

Имея неопределённости для входных данных, можно вычислить их влияние на неопределённости функционала. Аппроксимация первого порядка выглядит так:

$$
\sigma^2=SCS^T
$$

и можно продифференцировать это:

$$
2\sigma\text{d}(\sigma)=2SC\text{d}S^T
$$

$$
\text{d}\sigma=\frac{SC\text{d}S^T}{\sigma}=\frac{SC\text{d}S^T}{\sqrt{SCS^T}}
$$

Это уравнение позволяет получить, как неопределённость функционала $$\sigma$$ влияет на статистические неопределённости чувствительностей:

$$
\Delta\sigma=\sqrt{\frac{S'C'\text{d}S'^T}{SCS^T}}
$$

где $$\[S']*i \equiv \[S]*i^2$$ и $$\[C']*{i,j} \equiv \[C]*{i,j}^2$$.

Однако чувствительности часто не равны, и их необходимо вычислять с учётом этого:

$$
\Delta\sigma=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\text{d}S'\_1C'S'^T\_2 + S'\_1C'\text{d}S\_2'^T}{S\_1CS\_2^T}}
$$

Можно заметить, что использование этого уравнения с $$S\_1=S\_2$$ даёт результат, отличный от предыдущего уравнения на множитель $$\sqrt{2}$$. Последняя формула предполагает, что неопределённости $$S\_1$$ и $$S\_2$$ независимы, в то время как первая предполагает, что они полностью коррелированы, потому что значения одинаковы. Разница может быть видна, используя формулу для ковариации функции двух аргументов, когда $$S\_1=S\_2$$:

$$
\text{var}(\sigma)=\text{var}(AS\_1)+2\text{cov}(AS\_1,BS\_2)+\text{var}(BS\_2)=2\text{var}(AS)+2\text{cov}(AS,AS)=4\text{var}(AS)
$$

где A и B — коэффициенты влияния между $$\sigma$$ и соответствующими чувствительностями $$S\_1$$ и $$S\_2$$, соответственно.

Согласно этому вторая формула предполагает, что $$\text{cov}(AS\_1,BS\_2)=0$$.
