# Сложные чувствительности

Помимо чувствительности собственных значений, существует ряд функционалов, представляющих интерес для анализа, таких как коэффициенты реактивности $$\Delta\rho$$, эффективная доля запаздывающих нейтронов $$\beta\_{eff}$$, эффективное время порождения нейтронов $$\Lambda\_{eff}$$, эффективная длительность жизни нейтрона $$\ell\_{eff}$$, и т.д. Однако немногие стохастические инструменты моделирования переноса нейтронов способны напрямую вычислять эти чувствительности, что требует дополнительной обработки данных.

## Разность реактивности 

Коэффициенты реактивности $$\Delta\rho$$ являются критически важной частью анализа безопасности. Коды переноса нейтронов обычно не вычисляют их чувствительности, и получение этих величин требует дополнительных усилий для определения влияния неопределённостей на них. Поскольку такие функционалы состоят из собственных значений в двух состояниях, чувствительность эффекта реактивности также может быть сконструирована из соответствующих чувствительностей двух собственных значений.

$$
S(\Delta\rho,\alpha)=\frac{\alpha}{\Delta\rho}\frac{\text{d}(\Delta\rho)}{\text{d}\alpha}
$$

где $$\Delta\rho\equiv \frac{1}{k\_0} - \frac{1}{k}$$ и $$k\_0$$ — собственное значение в эталонном состоянии.

Развертывание $$\Delta\rho$$ даёт следующее широко используемое выражение:

$$
S(\Delta\rho,\alpha)=\frac{S(k,\alpha)/k-S(k\_0,\alpha)/k\_0}{\Delta\rho}=\frac{S(k,\alpha)k\_0-S(k\_0,\alpha)k}{k-k\_0}
$$

## Эффективная доля запаздывающих нейтронов

В случае эффективной доли запаздывающих нейтронов $$\beta\_{eff}$$, её можно приближённо выразить как:

$$
\beta\_{eff}\approx1-\frac{k\_p}{k}
$$

Путём некоторых алгебраических действий можно получить следующее широко используемое уравнение для количественной оценки чувствительности эффективной доли запаздывающих нейтронов на основе результатов двух симуляций:

$$
S(\beta\_{eff},\alpha)=\frac{\alpha}{\beta\_{eff}}\frac{\textnormal{d}\beta\_{eff}}{\textnormal{d}\alpha}=\frac{\alpha}{\beta\_{eff}}\frac{\textnormal{d}}{\textnormal{d}\alpha}\left(1-\frac{k\_p}{k}\right)=\frac{k\_p}{k-k\_p}\left\[S(k,\alpha)-S(k\_p,\alpha)\right]
$$

где $$k\_p$$ — это промптное собственное значение, т.е. без запаздывающих нейтронов.

## Промптная константа распада

Другим функционалом является промптная константа распада $$\alpha\_p$$ (промптное альфа-собственное значение, Rossia-alpha), которая представляет интерес с точки зрения валидации и впервые была применена при создании ENDF/B-VII.1. Чувствительность можно получить по следующему уравнению:

$$
S(\alpha\_p,\alpha)=\frac{\alpha}{\alpha\_p}\frac{\textnormal{d}\alpha\_p}{\textnormal{d}\alpha}=\frac{\alpha}{\alpha\_p}\frac{\textnormal{d}}{\textnormal{d}\alpha}\left(\frac{k\_p-1}{\ell\_{eff}}\right)=\frac{k\_p}{k\_p-1}S(k\_p,\alpha)-S(\ell\_{eff},\alpha)
$$

## Коэффициент размножения (breeding ratio)

Коэффициент размножения ($$BR$$) является ещё одним функционалом для рассмотрения, определяющим отношение скорости образования делящихся нуклидов, например $$^{233}\textnormal{U}$$ и $$^{239}\textnormal{Pu}$$, и скорости удаления делящихся нуклидов, например $$^{232}\textnormal{Th}$$ и $$^{238}\textnormal{U}$$. Современные стохастические инструменты сейчас позволяют напрямую вычислять чувствительность к ним и ограничены отношениями только одного показателя в числителе и знаменателе. Это значительно ограничивает возможность вычисления чувствительностей более сложных отношений, таких как коэффициент размножения, и, соответственно, их анализа. Чтобы обойти это ограничение, предлагается вычислять чувствительности коэффициента размножения через две разные чувствительности:

$$
S(BR,\alpha)=\frac{\alpha}{BR}\frac{\textnormal{d}BR}{\textnormal{d}\alpha}=\frac{\alpha}{BR}\frac{\textnormal{d}BR}{\textnormal{d}\alpha}=-\frac{1}{1+R\_f/R\_{\gamma}}S(R\_{\gamma},α)-\frac{1}{1+R\_{\gamma}/R\_f}S(R\_f,α)
$$

где $$R\_f$$ является отношением $$(n,f)$$ реакции на делящийся нуклид и $$(n,\gamma)$$ реакции на оплодотворяющий нуклид; $$R\_{\gamma}$$ является отношением $$(n,\gamma)$$ реакции на делящийся нуклид и $$(n,\gamma)$$ реакции на оплодотворяющий нуклид.

Можно учесть любое количество реакций, используя общую формулировку:

$$
S(BR,\alpha)=-\frac{1}{BR}\sum\_i BR^2\_i\left( \sum\_j\[R\_{\gamma,j,i}S(R\_{\gamma,j,i},\alpha)+R\_{f,j,i}S(R\_{f,j,i},\alpha)]\right)
$$

где $$BR\_i$$ является скоростью образования на $$i$$-нуклиде, т.е. $$BR=\sum\_i BR\_i$$; $$R\_{x,j,i}$$ является отношением $$x$$ реакция на делящийся $$j$$-нуклид и $$(n,\gamma)$$ реакция на оплодотворяющий нуклид.

Хотя подход является общим, он потребовал бы большего количества количественных оценок разных отношений, что делает его довольно громоздким. Например, учёт $$^{240}\textnormal{Pu}$$ и $$^{241}\textnormal{Pu}$$ потребовал бы расчёта восьми отношений. Таким образом, считается разумным использовать только предыдущую формулировку в SAUNA.

## Отношение функционалов

Существуют некоторые функционалы, которые можно представить в виде отношения функционалов. Основная идея для этих функционалов заключается в том, что их чувствительность является просто разностью двух чувствительностей, представляющих числитель и знаменатель. Для критической системы промптная константа распада равна $$\alpha\_p=-\beta\_{eff}/\Lambda\_{eff}$$ и $$\Lambda\_{eff}=\ell\_{eff}$$, и уравнение чувствительности упрощается:

$$
S(\alpha\_p,\alpha)=S(\beta\_{eff},\alpha)-S(\Lambda\_{eff},\alpha)=S(\beta\_{eff},\alpha)-S(\ell\_{eff},\alpha)
$$

Другим примером является упрощённое представление времени порождения нейтронов $$\Lambda\_{eff}$$ если известна эффективная длительность жизни нейтрона $$\ell\_{eff}$$ (случай использования Serpent):