Анализ чувствительности

Определение

Анализ чувствительности предназначен для оценки влияния возмущающих параметров на функционал (выходной параметр, отклик системы и т.д.), что позволяет определить параметры, требующие более тщательного внимания при анализе системы. Для количественной оценки влияния используются чувствительности (коэффициенты). Чувствительность $S(R,\alpha)$ произвольного функционала $R$ зависящего от параметра $\alpha$ определяется как (дробная/относительная) производная:

$$S(R,\alpha)\equiv\frac{\alpha}{R}\frac{\textnormal{d}R}{\textnormal{d}\alpha}$$

Используя это значение, можно оценить изменение функционала $R$ от значения $R_0$ в линейном приближении. Если $I$ параметры $\alpha_i$ возмущаются на величину $\delta\alpha_i$, $i\in I$, это можно представить в виде ряда Тейлора первого порядка.

$$R=R_0+\sum_{i=1}^I{S_i \delta\alpha_i}$$

где $S_i\equiv S(R_i,\alpha_i)$ используется для краткости.

Оценка чувствительности

Чувствительности оцениваются различными подходами, которые можно разделить на две группы, основанные на прямых и возмущенческих/вариационных методах. Первый метод обычно не рассматривают, так как он требует как минимум одной дополнительной симуляции на каждый возмущающийся параметр. Подход, основанный на возмущениях, как правило, использует теорию возмущений первого порядка. Для собственных значений $k$ уравнение имеет следующий вид:

$$S(k,\alpha)=\frac{\alpha}{k}\frac{\textnormal{d} k}{\textnormal{d} \alpha} = -\alpha \frac{\langle\psi^*,\left(\frac{\partial \hat{A}}{\partial \alpha} - \frac{1}{k}\frac{\partial \hat{F}}{\partial \alpha}\right)\rangle}{\langle \psi^*,\frac{1}{k}\hat{F}\psi \rangle} +\mathcal{O}(\delta\psi)$$

где $\langle f,g \rangle \equiv \int f(\vec{\xi})g(\vec{\xi}) \textnormal{d}\vec{\xi}$ является скалярным произведением произвольных функций $f(\vec{\xi})$ и $g(\vec{\xi})$; $\vec{\xi}$ является вектором в фазовом пространстве; $\hat{A}$ является оператором переноса; $k$ является собственным значением (множителем); $\hat{F}$ является оператором расщепления; $\delta\psi$ является возмущением в $\psi$ вследствие возмущения в $\alpha$.

Эта формула ясно показывает преимущество подхода на основе возмущений: он требует только знания прямого и присоединённого потоков, т.е. требует двух симуляций нейтронного переноса, чтобы получить чувствительности ко всем $I$ параметрам, тогда как прямой подход требует как минимум $I$ возмущённых симуляций помимо одной невозмущённой прямой симуляции, что делает этот подход довольно неэффективным.

Это классический подход для собственного значения $k$, и для вычисления чувствительности других функционалов следует обращаться к обобщённой теории возмущений, также известной как GPT, введённой Усачевым. GPT имеет схожее преимущество, но может потребовать двух дополнительных симуляций, если функционал является билинейным (или их отношением), например эфективная доля запаздывающих нейтронов $\beta_{eff}$ или другие кинетические параметры. У GPT есть два ограничения: 1) функционал $R$ должен удовлетворять условию $\langle \psi, \frac{\partial R}{\partial \psi} \rangle= 0$ (например, $^{135}\textnormal{Xe}$ концентрация в равновесии); 2) если число функционалов достаточно велико (например, распределение мощности), преимущество подхода на основе возмущений уменьшается.

SAUNA не вычисляет чувствительности: он полагается на инструменты, реализующие эти методы, такие как Serpent и KENO-VI из SCALE. Тем не менее, они могут быть созданы вручную, но подход довольно неэффективен.

Формулировки были разработаны давно, хотя они по-прежнему широко используются, и их развитие в значительной степени связано с тем, как стохастический код переноса нейтронов может вычислять чувствительности в одной симуляции. Эти методы реализованы в ряде известных инструментов, таких как MCNP, KENO-VI, Serpent, TRIPOLI-4 и др.