Неопределённости неопределённостей

Во многих случаях распространение неопределённостей опирается на моделирование нейтронного переноса с помощью стохастических кодов. В настоящее время это имеет место для SAUNA, поскольку он использует результаты чувствительности KENO-VI и Serpent. Следовательно, неопределённости чувствительностей вносят неопределённости в результаты распространения неопределённостей. Чтобы оценить статистическую точность вычисленной неопределённости, следует также распространить статистическую неопределённость чувствительностей на неопределённость функционала. Кроме того, некоторые чувствительности вычисляются через другие функционалы, и это также должно быть учтено.

Учёт неопределённостей сложных функционалов

Вычисление сложных функционалов требует по крайней мере двух функционалов, и это приводит к отличной неопределённости сложного функционала. Здесь рассматривается самый простой случай — разность реактивностей $\Delta\rho$:

$$\text{d}(\Delta\rho)=-\frac{\text{d}k}{k^2}+\frac{\text{d}k_0}{k_0^2}$$

$$\Delta(\Delta\rho)=\sqrt{\left(\frac{\Delta k}{k^2}\right)^2 + \left(\frac{\Delta k_0}{k_0^2}\right)^2}$$

Кроме того, должны быть вычислены статистические неопределённости чувствительностей сложного функционала:

$$\Delta S (\Delta \rho, \alpha)=|S(\Delta\rho,\alpha)| \sqrt{\left[\frac{\Delta (S(k,\alpha)/k-S(k_0,\alpha)/k_0)}{S(k,\alpha)/k-S(k_0,\alpha)/k_0}\right]^2 + \left[\frac{\Delta(\Delta\rho)}{\Delta\rho}\right]^2 }$$

или в терминах собственных значений:

$$\Delta S (\Delta \rho, \alpha)=|S(\Delta\rho,\alpha)| \sqrt{\left[\frac{\Delta (S(k,\alpha)k_0-S(k_0,\alpha)k)}{S(k,\alpha)k_0-S(k_0,\alpha)k}\right]^2 + \left[\frac{\Delta(k_0-k)}{k_0-k}\right]^2 }$$

Статистические неопределённости неопределённостей

Имея неопределённости для входных данных, можно вычислить их влияние на неопределённости функционала. Аппроксимация первого порядка выглядит так:

$$\sigma^2=SCS^T$$

и можно продифференцировать это:

$$2\sigma\text{d}(\sigma)=2SC\text{d}S^T$$

$$\text{d}\sigma=\frac{SC\text{d}S^T}{\sigma}=\frac{SC\text{d}S^T}{\sqrt{SCS^T}}$$

Это уравнение позволяет получить, как неопределённость функционала $\sigma$ влияет на статистические неопределённости чувствительностей:

$$\Delta\sigma=\sqrt{\frac{S'C'\text{d}S'^T}{SCS^T}}$$

где $[S']_i \equiv [S]_i^2$ и $[C']_{i,j} \equiv [C]_{i,j}^2$.

Однако чувствительности часто не равны, и их необходимо вычислять с учётом этого:

$$\Delta\sigma=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\text{d}S'_1C'S'^T_2 + S'_1C'\text{d}S_2'^T}{S_1CS_2^T}}$$

Можно заметить, что использование этого уравнения с $S_1=S_2$ даёт результат, отличный от предыдущего уравнения на множитель $\sqrt{2}$. Последняя формула предполагает, что неопределённости $S_1$ и $S_2$ независимы, в то время как первая предполагает, что они полностью коррелированы, потому что значения одинаковы. Разница может быть видна, используя формулу для ковариации функции двух аргументов, когда $S_1=S_2$:

$$\text{var}(\sigma)=\text{var}(AS_1)+2\text{cov}(AS_1,BS_2)+\text{var}(BS_2)=2\text{var}(AS)+2\text{cov}(AS,AS)=4\text{var}(AS)$$

где A и B — коэффициенты влияния между $\sigma$ и соответствующими чувствительностями $S_1$ и $S_2$, соответственно.

Согласно этому вторая формула предполагает, что $\text{cov}(AS_1,BS_2)=0$.