Требования к целевой точности

Неопределенности функционалов часто велики и их следует уменьшать. Допустимая максимальная неопределенность функционала определяется целевыми значениями, называемыми требованиями к точности (TAR). TAR используются для определения того, удовлетворяют ли неопределенности целевым значениям или нет. Широко принятый целевой показатель для собственного числа $k$ составляет 0,3%, и он обычно оказывается наиболее труднодостижимым по сравнению с другими функционалами. Когда выявляются слишком большие неопределенности, можно поставить задачу оптимизации, которая решается на основе результатов анализа чувствительности и неопределенности. Задача позволяет определить нуклиды, реакции и диапазоны энергии (группы) для снижения неопределенности до уровня требований к целевой точности при минимальных затратах. Задача оптимизации обычно формулируется как:

$$\begin{cases} \displaystyle\min_{\delta\alpha_i}\sum_{i}\frac{\lambda_i}{\delta\alpha_i^2} \\ S_jCS^T_j\leq\delta R_{j,TAR}^2 \\ (\delta \alpha_i)_{\min}\leq\delta\alpha_i\leq(\delta\alpha_i)_0 \end{cases}$$

где $\delta\alpha_i$ — это неопределенность параметра $\alpha$; $\lambda_i$ — параметр стоимости; $S_j$ — вектор чувствительности по отношению к $j$-функционалу $R_j$; $C$ — матрица ковариаций; $\delta R_{j,TAR}$ — целевая неопределенность для функционала $R_j$; $(\delta\alpha_i)_{\min}$ — минимальная неопределенность; $(\delta\alpha_i)_0$ — базовая неопределенность.

Первое слагаемое в задаче является целевой функцией, определяющей функцию затрат. Эта функция предполагает, что затраты для каждого параметра $\alpha_i$ пропорциональны его весу $w_i$, который в статистике соответствует обратной дисперсии:

$$w_i\equiv\frac{1}{\delta\alpha_i^2}$$

Это показывает, что функция затрат является суммой затрат на единицу веса. Однако для каждой реакции и диапазона энергии требуются разные усилия. Поэтому вводится коэффициент пропорциональности $\lambda_i$ . То есть целевая функция является суммой $\lambda_i$-взвешенных обратных дисперсий.

Второе выражение — это нелинейное неравенство, определяющее, что результат распространения неопределенности ниже соответствующего TAR. Число функционалов произвольно, но больший их число влияет на скорость сходимости.

Третье выражение — линейное неравенство для неопределенностей входных параметров. Первый член, $(\delta\alpha_i)_{\min}$ представляет минимальную неопределенность, которую в самом простом случае можно установить равной нулю. Кроме того, достижимое значение ограничено измерительным прибором. Значение принимается на уровне 0,5%; тем не менее, в некоторых случаях это значение может быть слишком оптимистичным, и 1% или больше являются более реалистичными значениями, особенно если рассматривается область резонансов. Важно отметить, что жесткие условия могут сделать достижение TAR невозможным, что легко продемонстрировать на простейшем представлении собственного числа $k$ вида:

$$k=\frac{\nu\Sigma_f}{\Sigma_a}$$

где $\nu$ — кратность рождения нейтронов; $\Sigma_f$ — сечение деления; $\Sigma_a$ — сечение поглощения. Очевидно, что если неопределенность кратности рождения нейтронов больше 0,3%, то невозможно достичь неопределенности собственного числа в 0,3%, потому что чувствительность $S(k,\nu)$ равна единице.